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Lineare Funktionen - Einführung

Das Steigungsdreieck zur Berechnung der Steigung bei Geraden

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Verschiedene Möglichkeiten zur Berechnung der Steigung bei Geraden

Autoren: admin

Steigungsdreiecke

Zu dieser graphischen Darstellung gibt es auch ein Video mit Erklärungen -hier-

Es geht um den Steigungsbegriff einer linearen Funktion der Form y = m * x , das heißt auch, dass die Wertepaare proportional zueinander sind. Bei dieser Funktion lässt sich über mindestens 2 Koordinatenpaare im Koordinatensystem eine Gerade erzeugen, deren Verlauf man auf verschiedene Art und Weise ermitteln kann.
In dieser Funktion geht es ausschließlich um die Steigung, die Funktion durch den Ursprung 0/0.
Der Buchstabe m gibt uns die Steigung der Geraden an. Diese kann positiv, negativ oder 0 sein. Ist sie 0, entsteht beim Einsetzen von x-Werten eine Gerade ohne Steigung deckungsgleich auf der x - Achse (auch Rechtsachse genannt). Bei positiver Steigung, in unserem Beispiel +3/2 verläuft die Gerade g1 von links nach rechts aufwärts. Setzt man für x=1 dann erhalten wir für y den Wert 1,5 oder anders ausgedrückt, geht man um 1 nach rechts kommt man um 1,5 oder 3/2 nach oben. Ziel: Ein Punkt auf der Geraden. Bei negativer Steigung, in unserem Beispiel Gerade g2 ergibt sich eine fallende Gerade, da der Faktor m nun einen negativen Wert haben muss - diese Steigung beträgt -3/8. Geht man um 8 Werte nach rechts und um 3 Werte nach unten, so erreichen wir wiederum den zugehörigen Punkt auf der Geraden g2.

Über 2 Punkte, hier P1 und P2, die beide auf der Geraden liegen lässt sich ein günstiges Steigungsdreieck konstruieren. Unter "günstig" verstehe ich, dass man jeweils Strecken mit glatten Werten findet, die für eine Strecke x und y ein rechtwinkliges Dreieck zur Geraden entstehen lassen. Dabei spielt es keine Rolle, ob das Dreieck unterhalb oder überhalb der Geraden entsteht, denn die Spiegelung an der Geraden lässt keine anderen Ergebnisse für die zu ermittelnde Steigung zu wie man selbst noch rechnerisch überprüfen kann.

Jeder Punkt auf der Geraden hat eine eindeutige Koordinate. Die Koordinaten werden gängig mit x1, y1 für Punkt P1 und x2, y2 für Punkt P2 bezeichnet. Eine Steigungsformel erlaubt durch einfaches Einsetzen dann die Berechnung der Steigung. In diesem Beispiel befindet sich x1 und x2 im Nenner der Steigungsformel, entsprechend im Zähler y1, y2. Dreht man die Reihenfolge im Zähler und Nenner um, kommt es ebenfalls zur gleichen Steigung. D.h., wir können auch y1-y2 / x1-x2 rechnen, was jedoch hier erst einmal nicht beachtet werden muss. Hier ist zwingend auf die entsprechenden Vorzeichen beim Einsetzen zu achten. Das Interessante ist, dass man bei einer gegebenen Gerade auch einfacher rechnen kann: Man teilt einfach die Strecke von y durch die Strecke von x und erhält auch sofort die Steigung, im Beispiel also den Pfeilen folgend -9 / - 6 = + 3/2 x Dabei ist hier die Strecke der x Achse negativ, da man zum rechten Winkel nach links gehen muss, ebenso y negativ, da man vom rechten Winkel nach unten und nicht nach oben gehen muss. Das funktioniert immer wenn man entweder von P1 über den rechten Winkel zum anderen Punkt P2 die Strecken bestimmt oder umgekehrt. Die kurze Formel für das Steigungsdreieck ist nur anwendbar, wenn die Strecke x ungleich 0 ist. Eine Strecke mit der Länge 0 existiert nicht; Durch 0 darf auch nicht geteilt werden.

Ansonsten gilt die sogenannte Quotientengleicheit: Bei der proportionalen Funktion y = m * x gilt:
y:x = m * x : x = m

Und zum Schluss noch ein Hinweis wie man eine Gerade vom Ursprung 0 aus einfach zeichnen kann wenn die Steigung bekannt ist:
Die Steigung betrage den Wert 4. Daraus machen wir einen Bruch: also 4/1 . 4 sei nun die y Strecke vom Steigungsdreieck und 1 die x - Strecke vom Steigungsdreick. Wir gehen nun vom Punkt 0/0 um 1 nach rechts und um 4 nach oben - den erreichten Punkt mit 0/0 verbinden - fertig!

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