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Mathematik Rechengesetze, Rechenregeln und vorteilhaftes Rechnen

Vorgestellt werden 3 wichtige Rechenregeln und 3 wichtige Rechengesetzte für Terme mit kombinierten Grundrechenarten.

Rechenregeln für Terme mit Aufgaben und Lösungen

Beispiel: 2 x 8 + 4 x (18-15) - 4 = 16 + 4 x 3 - 4 = 16 + 12 - 4 = 24

Man rechnet richtig, wenn man Folgendes beachtet:

a) Klammern werden zuerst berechnet, danach Potenzen (z.B. )
b) Punktrechnung (:/x) hat Vorrang vor Strichrechnung (+/-) (auch innerhalb von Klammern)
c) es wird von links nach rechts gerechnet.

Leichte Übungsaufgaben sind mit leichte Übungsaufgaben und
anspruchsvolle Aufgaben mit anspruchsvolle Übungsaufgaben gekennzeichnet.
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Berechne folgende Terme:

a) 150 - 10 x 6    b) 6 x 8 + 56 : 7    c) 49 - 3 x (9 + 6)    d) 80 : 4 : 2

a) (25 x 5) + 2 x (101-12) - (4 x 6) x 2      b)  3³- 4 x 5 + 10

a) (10 x 7 - 19 - 9 x 3) x (17 - 7 x 2)       b)  (3³- 4) x 5 + 10 x 2²

Schreibe den Rechenweg für folgende Textaufgabe als Term:

Ein Juwelier hat 300 Zirkoniasteine (unechte Diamanten) zur Verfügung. Seine Goldschmiedin fertigt 40 Ringe zu je 7 Steinen. Wieviele Ringe zu je 5 Steinen kann man dann noch aus den restlichen Steinen herstellen?

Schreibe den Rechenweg für folgende Textaufgabe als Term:

Ein Rohr von 12m Länge wird in zwei Teile zu je 1,80m Länge und 4 Teile zu je 1,50 geschnitten. Die restlich Länge wird in 3 gleich große Stücke gebracht. Welche Größe weisen diese jeweils auf?

Schreibe den Rechenweg für folgende Textaufgabe mit Fachbegriffen als Term:

Multipliziere die Summe der Zahlen 25 und 15 mit der Zahl 4. Schreibe als Term und berechne.

Schreibe den Rechenweg für folgende Textaufgabe mit Fachbegriffen als Term:

Dividiere den Quotienten der Zahlen 80 und 4 durch die Differenz der Zahlen 20 und 15. Schreibe den Term und berechne.

Finde die fehlende Zahl oder die richtigen Rechenzeichen in folgendem Termen:

a) (12 - ...) + (50 - 36) = 21     b) (5 .. 5 .. 5) .. 5 = 75

1) Kommutativgesetz für Additon und Multiplikation

Das Kommutativgesetz, auch Vertauschungsgesetz genannt, besagt folgendes:

a + b = b + a

Beispiel: 4 + 5 = 5 + 4 = 9 für die Addition und auch
Multiplikation: a x b = b x a Beispiel: 4 x 5 = 5 x 4 = 20

Die Reihenfolge der Summanden bzw. der Faktoren kann beliebig getauscht werden.
Diese Regel gilt jedoch nicht bei der Subtraktion bzw. Division!

2) Assoziativgesetz für Additon und Multiplikation

Das Assoziativgesetz, auch Verbindungsgesetz genannt, besagt folgendes:
a + b + c = a + (b + c) oder b + (a + c) usw.

Beispiel: 4 + 5 + 6 = 4 + (5 + 6) = 15 oder 5 + (4 + 6) = 15 für die Addition und auch
a x b x c = a x (b x c) Beispiel: 4 x 5 x 6 = 4 x (5 x 6) oder (5 x 6) x 4 = 120 für die Multiplikation

Summanden bzw. Faktoren können beliebig verbunden werden.
Diese Regel gilt jedoch nicht bei der Subtraktion bzw. Division!

3) Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Das Distributivgesetz wird zum Auflösen oder Bilden von Klammern genutzt. Dabei wird Punktrechnung (Multipliaktion oder Division) sowie Strichrechnung (Addition oder Subtraktion) in Kombination gebracht:

Folgende Möglichkeiten kommen in Betracht:

a x b + a x c = a x (b + c), auch (b + c) x a = b x a + c x a oder
a x b - a x c = a x (b - c), auch (b - c) x a = b x a - c x a
Und nun Vorsicht! Es gilt nicht für
a : (b + c) = a : b + a : c, aber es gilt für (b + c) : a = b : a + c : a

analog bei der Differenz ist auch folgendes falsch:
a : (b - c) = a : b - a : c, aber (b - c) : a = b : a - c : a ist wieder korrekt (beim Rechnen mit natürlichen Zahlen nur möglich wenn die Subtraktion ausführbar ist)

Das Distributivgesetz gilt nicht wenn es sich beim Divisor um eine Summe oder Differenz handelt.

Rechenregeln und Rechengesetze können für vorteilhaftes Rechnen nützlich sein.

Beispiel: 23 x 200 x 5 = (200 x 5) x 23 = 1000 x 23 = 23.000.

Hier greift das Assoziativgesetz der Multiplikation. Man verbindet 2 leichter zu rechnende Zahlen miteinander, bevor man die letzte Operation ausführt.

Manchmal ist es einfacher, das Distributivgesetz zu nutzen statt mit der Regel Punktrechnung vor Strichrechnung zu arbeiten.

Beispiel 2: 9 x 17 + 9 x 13 = 9 x (17 + 13) = 9 x 30 = 270
Hier wurde geschickt ausgeklammert. Man erspart sich 2 aufwendige Kopfaufgaben und rechnet vorteilhaft!

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Wie kann man bei folgenden Aufgaben vorteilhaft rechnen?

a) 15 + 46 + 5 + 4
b) 8 x 5 x 7 x 2
c) 2 x 8 x 50
Vorteilhaftes Rechnen ist auch durch sogenannte Faktorzerlegung möglich.
Beispiel: 18 x 30 = 18 x 3 = 54; 54 x 10 = 540

Dahinter steckt das Assoziativgesetz der Multiplikation. Durch die Faktorzerlegung kann geschickt kombiniert werden (18 x 3 x 10).

Zerlege vorteilhaft folgende 3 Aufgaben:

a) 24 x 125
b) 12 x 55
c) 25 x 3 x 36
Schreibe den Rechenweg für folgende Textaufgabe mit Fachbegriffen als Term:

Eine Maschine läuft pro Arbeitstag 10 Stunden und im Monat September täglich. In dieser Zeit produziert die Maschine bei gleichbleibenden Tempo 600.000 Butterbrotdosen. Wieviel Dosen werden im September pro Arbeitsstunde hergestellt? Stelle den Term auf und ermittle die Anzahl.

Wende das Distributivgesetz an und rechne vorteilhaft: a) 13 x 8 - 13 x 7 b) 25 + 5 x 19 c) 126 : 6 - 72 : 6 d) (20 + 4) x 25
Beim Kopfrechnen findet das Distributivgesetz Anwendung:
Beispiel: 8 x 29 = 8 x (20 + 9) = 160 + 72 = 232

Zerlege sinnvoll und rechne für
a) 8 x 29
b) 169 : 13
c) 6 x 49
d) 9 x 31
e) 1024 : 32
Textaufgabe:

2400 Liter H-Milch und 3600 Liter Vollmilch sollen vom Tank in Tüten verpackt werden, von denen immer 20 Stück in 1 Karton passen. Wieviele Kartons werden benötigt? Rechne auf 2 verschiedene Arten.
a) 90     b) 56     c) 4     d) 10 a)  = 125 + 2 x 89 - 24 x 2
= 125 + 178 - 48
= 125 + 130
= 255

b)  3³- 4 x 5 + 10 = 27-20+10 = 17
a)   =(70 - 19 - 27) x ( 17 - 14)
= (51-27) x 3
= 24 x 3
= 72
      b) (3³- 4) x 5 + 10 x 2²
=(27-4) x 5 + 10 x 4
= 23 x 5 + 40 = 155
(300 - 40 x 7) : 5 = 4 Ringe. Von den 300 Steinen werden 40 Ringe mit 7 Steinen verbraucht. Es bleiben dann 20 Steine über, die für 4 Ringe mit 5 Steinen reichen. (12m - 2 x 1,80m - 4 x 1,50) : 3
= (12m - 3,60m - 6m) : 3 = 2,40m : 3
= 0,80m pro Stück.

Man kann auch diesen Term aufstellen:
(12m - (2 x 1,80m + 4 x 1,50m)) : 3
= (12m - 9,60m) : 3
= 2,40m : 3
= 0,80m
(25 + 15) x 4 = 160 80 : 4 : (20 - 15)
= 20 : 5
= 4
a) (12 - 5) + (50 - 36) = 21     b) (5 + 5 + 5) x 5 = 75 a) (15 + 5) + (46 + 4) = 20 + 50 = 70 [Assoziativgesetz der Addition]
b) 8 x 5 x 7 x 2 = (2 x 5) x (7 x 8) = 10 x 56 = 560 [Assoziativgesetz der Multiplikation]
c) 2 x 8 x 50 = (2 x 50) x 8 = 100 x 8 = 800 [Assoziativgesetz der Multiplikation]
a) 24 x 125 = 6 x 4 x 125 = 6 x 500 = 3000
b) 12 x 55 = 55 x 2 x 6 = 110 x 6 = 660 oder 11 x 5 x 3 x 4 = 11 x 20 x 3 = 11 x 60 = 660
c) 25 x 3 x 36
= 25 x 4 x 9 x 3
= 100 x 9 x 3 = 900 x 3
= 2700
10h x 30t x ... = 600.0000 Butterbrotdosen.

600.000 : 300 = 2000 Dosen pro Stunde.
a) 13 x (8 - 7) = 13 x 1 = 13
b) 5 x (5 + 19) = 120 c) (126 - 72) : 6 = 54 : 6 = 9 d) 25 x 20 + 4 x 20 = 500 + 80 = 580
a) 8 x 29 = 8 x (20 + 9) = 160 + 72 = 232
b) 169 : 13 = (130 + 39) : 13 = 10 + 3 = 13
(noch einfacher wäre die Beherrschung des großen 1 x 1 !
c) 6 x 49 = 6 x (50 - 1) = 300 - 6 = 294
d) 9 x 31 = 9 x (30 + 1) = 270 + 9 = 279
e) 1024 : 32 = (320 + 320 + 320 + 64) : 32 = 10 + 10 + 10 + 2) ) 32
(auch mehr als 2 Summanden sind denkbar!
Rechnung 1: (2400 + 3600) : 20 = 6000 : 20 = 300 Kartons (werden benötigt)
Rechnung 2: 2400 : 20 + 3600 : 20 = 120 + 180 = 300 Kartons.

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