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Mathe-Themen-Beiträge

Primzahlen

von admin

Es gibt unendlich viele Primzahlen. Eine Primzahl ist nur durch die Zahl 1 und durch sich selbst teilbar. Außerdem läßt sie sich nicht in Faktoren ungleich 1 zerlegen.

Beispiel: Die Zahl 12 ist keine Primzahl, da sie sich in Faktoren zerlegen läßt, die keine Primzahlfaktoren sind: 2 x 6 ; 4 x 3, wobei 1 x 12 wie oben erwähnt, nicht gilt. D.h., bei der Zahl 7 handelt es sich um eine Primzahl: 7 ist nur durch 1 und durch sich selbst teilbar und ist damit eine Primzahl. Die Faktoren 1 x 7 sollen ja nicht gelten.

Das Sieb des Eratosthenes ist ein Verfahren, nach dem man eine Primzahlentabelle erstellen kann:
1) man bestimmt, bis zu welcher höchsten Zahl Primzahlen ermittelt werden
(hier im Beispiel ist es 20).
2) Man schreibt die ersten Primzahlen ab 2 auf und bildet zu jeder soviele Vielfache, bis jeweils ein Vielfaches der Primzahlen größer wird als die höchste Zahl der festgelegten Menge.
3) die Ergebnisse werden aussortiert und es bleiben die Primzahlen übrig.

1	2	3	(4)	5
(6)	7	(8)	(9)	(10)
11	(12)	13	(14)	(15)
(16)	17	(18)	19	(20)

(1x2,2x2,3x2,4x2,5x2,6x2,7x2,8x2,9x2,10x2,11x2)...

(1x3,2x3,3x3,4x3,5x3,6x3,7x3)...

(1x5,2x5,3x5,4x5,5x5)...(1x7,2x7,3x7,4x7,5x7)...(1x11)

Und nun eine Primzahltabelle bis 389:

1	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43
47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109
113	127	131	137	139	151	157	163	167	173	179	181	191	193	197
199	211	223	229	233	239	241	251	257	263	269	271	281	283	293
307	311	313	317	331	337	347	349	353	359	367	373	379	383	389

Eine Anwendung mit Primzahlen ist z.B. das Auffinden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen durch Primfaktorzerlegung. Beispiel: Das kleinste gemeinsame Vielfache von 24 und 9 soll ermittelt werden:

24 = (2 hoch 3) mal (3 hoch 1)
9 = (3 hoch 3) mal (1 hoch 1)

Nun werden jeweils die höchsten Primzahlpotenzen miteinander multipliziert und ergeben das kleinste gemeinsame Vielfache: (2 hoch 3) mal (3 hoch 3) mal (1 hoch 1) ergibt: 72
Es werden nur Primfaktoren mit den höchsten Exponenten berücksichtigt einschließlich Exponent 1.

Im Rahmen der Bruchrechnung zur Bestimmung des Hauptnenners kann diese Berechnung genutzt werden. Primzahlen werden auch zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers benötigt. Würde hier den Rahmen sprengen. Zum Schluß sei gesagt, dass Primzahlen im Rahmen von heutigen Verschlüsselungsmethoden eine bedeutende Rolle spielen.

Thema:

Teilbarkeitsregeln

von admin

Die Teilbarkeitsregeln helfen bereits ohne ausführliche Rechnung, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere Zahl teilbar ist.

1) Eine Zahl ist genau dann restlos durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl eine 0,2,4,6 oder 8 enthält.

2) Eine Zahl ist genau dann restlos durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Quersumme erhält man, indem jede einzelne Ziffer der Zahl miteinander addiert wird. Beispiel: 4875 hat die Quersumme: 24 - sie ist durch 3 teilbar.

3) Eine Zahl ist genau dann restlos durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern (Einer und Zehner) eine Zahl darstellen, die durch 4 teilbar ist.

5) Bei der Teilbarkeit durch 5 muss die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 sein.

6) Eine Zahl ist genau dann durch 6 restlos teilbar, wenn man die Teilbarkeitsregeln der Zahl 2 und der Zahl 3 kombiniert anwendet. D.h. die letzte Ziffer muss eine gerade Zahl sein und die Quersumme der gesamten Zahl muss genau durch 3 teilbar sein (2 mal 3 = 6; Anwendung der Teilbarkeitsregeln auf den jeweiligen Primfaktor für die Zahl 6.

7) Auch für die Zahl 7 gibt es Teilbarkeitsregeln. Es ist allerdings aufwändiger. Wer sich dafür interessiert findet unter folgendem Link mehr Informationen auch zu weiteren Zahlen: https://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit Eine einfache Methode besteht darin (gilt auch für die Teiler 11 und 13), dass man von den letzten 3 Ziffern der Zahl den Rest der Zahl abzieht. Das Ergebnis durch 7 geteilt muss dann eine Zahl ohne Rest ergeben. Beispiel: 16807 (807 - 16 = 791). 791 : 7 ergibt restlos 113, als ist 16807 durch 7 teilbar! Dabei spielt es keine Rolle, ob das Zwischenergebnis einen Minuswert annimmt, welches durch 7 geteilt wird.

8) Bei der Zahl 8 wird geprüft, ob die letzten 3 Ziffern als Zahl durch 8 teilbar sind. Beispiel: 1984 : 8 (984 : 8 im Kopf: 800:8=100; 160:8=20;24:8=4) ergibt 124 ohne Rest! Nur die letzten 3 Stellen der Zahl sind ähnlich wie bei der Teilbarkeitsprüfung für 4 (letzten beiden Stellen) zur Prüfung nötig.

9) Die Teilbarkeit durch 9 kann man sich genauso gut merken wie die Teilbarkeit durch 3: Man ermittelt die Quersumme der Zahl und prüft, ob das Ergebnis durch 9 ohne Rest teilbar ist.

10) Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn der Einer der Zahl 0 ist.

11) Teilbarkeit für Zahl 11,13 siehe Nr. 7...

12) Bei den Zahlen 12, 15, 18 gilt wie auch bei anderen Zahlen die Regel, dass man die Zahl in Primfaktoren zerlegt. Die Teilbarkeit ist gegeben, wenn die Zahl jeweils durch beide Faktoren gleichzeitig teilbar ist. Beispiel für die Faktoren: 12 (3 x 4); 15 (3 x 5); 18 (2 x 9). Bei großen Zahlen wie z.B. 56 als Teiler kann man diesen zerlegen in 8 x 7. Ist die Zahl durch 7 und 8 gleichzeitig teilbar, dann ist sie auch durch 56 teilbar!

Thema:

Römische Zahlen - Übung

von admin

Römische Zahlzeichen gehören zu den sogenannten Additionssystemen (kein Stellenwertsystem). Einzelsymbole in Form von bestimmten Buchstaben werden aneinandergereiht. Es gilt die Regel, dass kleinere Zahlzeichen von größeren Zahlzeichen abgezogen werden, wenn sie auf größere Zahlen folgen.

Folgende Buchstaben werden genutzt:

I (1), II (2), III (3), IV (4), V (5), X (10), XX (20), XXX (30), L (50), C (100), D (500), M (1000)

Jeder BuchstabeBuchstaben (außer V, L, D - alle mit einer 5) dürfen nur maximal 3 mal hintereinander genutzt werden ( I, X, C, M); beim 4. Mal muss vom nächsthöheren Zahlzeichen abgezogen werden.

Beispiele:

Die Zahl 8 kann aus 5+3 gebildet werden, also: VIII
Die Zahl 19 wird so gebildet: 20-1, also: IXX (denn X+V+IIII geht nicht, aber 18 enstpricht XVIII !)
Das Jahr 2010 entspricht MMX
1499 entspricht: MCDIC
87 = LXXXVII, 88 = LXXXVIII und 89 = LXXXIX, 529 = DXXIX, 641 = DCIXL, 639 = DCXXXIX

1) MDLII

2) CCCXXXIX

3) XL

4) MMX

5) MIM

6) XVIII

7) IXX

8) IM

9) DCCCLXXVIII

10) XXXIX

11) VIIL

12) DCLIV

1) 1552	2) 339	3) 40	4) 2010
5) 1999	6) 18	7) 19	8) 999
9) 878	10) 39	11) 43	12) 654

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